Комбинаторика и теория вероятности




Скачать 415.71 Kb.
НазваниеКомбинаторика и теория вероятности
страница2/3
Дата конвертации02.12.2013
Размер415.71 Kb.
ТипДокументы
1   2   3

Совместные и несовместные события

  1. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.

Ответ: 1) совместные; 2) несовместные.

2. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ: «идёт дождь» - «на небе нет ни облачка» - несовместные;

«наступило лето» - «на небе нет ни облачка» и «наступило лето» - «идёт

дождь» - совместные.

3. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня 1 января»; 4) «температура воздуха в Мариинске +30С» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ: «сегодня 1 января» - «температура воздуха в Мариинске +30С»; «сегодня по расписанию 6 уроков» - «температура воздуха в Мариинске +30С»; «сегодня 1 января» - «сегодня по расписанию 6 уроков» - несовместные; «наступило утро»- «сегодня 1 января»; «наступило утро» - «температура воздуха в Мариинске +30С»; «наступило утро» - «сегодня по расписанию 6 уроков» - совместные.

Противоположные события

1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.

б) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.

в) На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

Решение: а) Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.

б) Из пяти выстрелов в цель попали менее двух.

в) На контрольной я решил максимум две задачи из пяти.

2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе все умные и красивые;

г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

Решение: а) «На контрольной работе пятёрки получили не более половины класса», или «на контрольной работе больше половины класса не получили пятёрки». б) «В тире хотя бы одна пулька из семи у меня попала в цель». в) «В нашем классе есть хотя бы один не умный или не красивый». г) «В кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной бумажкой».

Вероятность

1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n=10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n=10 только одна цифра верная, поэтому m=1. вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна =.

Ответ: .

2. Витя забыл две последние цифры номера телефона приятеля и набрал их наугад. С какой вероятностью этот звонок попадёт к приятелю?

Решение: Исходом в данном случае является пара десятичных цифр (0..9) с учётом порядка и с повторениями; общее число возможных исходов n=1010=100; все исходы считаем равновозможными. Среди этих исходов только один является правильным, соответствующим номеру телефона приятеля. Таким образом, событию А – «звонок попадёт к приятелю» благоприятствует только один исход mA=1; вероятность =.

Ответ: 0,01.

3. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Решение: Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов будет равновозможна, то можно применить формулу классической вероятности. Пусть событие А – «купленный билет оказался выигрышным». Тогда количество благоприятствующих исходов m=120, а общее число равновозможных исходов n=1500; вероятность

Ответ: 0,08.

4. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

Решение: Общее число билетов n=25; извлечение каждого из них считается равновозможным. Рассмотрим событие А – «взятый билет имеет однозначный номер», В – «взятый билет имеет двузначный номер». Количество благоприятствующих исходов: mA=9 (одна цифра от 1 до 9); mB=16 (первая цифра 1 или 2, вторая цифра – от 0 до 9 после 1, от 0 до 5 после 2, всего 10+6=16). Искомые вероятности: ; =

Ответ: 1) ; 2) .

5. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?

Решение: Общее число билетов n=25; выбор каждого билета равновозможен. Событие А – «ученику достанется на экзамене выученный билет»; количество благоприятствующих исходов m=25-1=24. Вероятность события А: ==0,96.

Ответ: .

6. В лотереи 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных, приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный;

2) невыигрышный?

Решение: Общее число билетов n=1000; приобретение каждого из них равновозможно. Рассмотрим события и подсчитаем благоприятствующие им исходы: =, =.

Ответ: 1) 0,02; 2) 0,98.

7. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи ?

Ответ: Нет. Одного испытания не достаточно, чтобы по частоте узнать вероятность.

8. Алёша забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал её наугад,

помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер

набран правильно.

Решение: Исходом в данном случае являются цифры от 0 до 9, таких цифр – 10, но среди них нечётных только – 5. Отсюда следует, что M=5, N=10, значит

=.

Ответ: 0,5.

9. В классе 20 мальчиков и 10 девочек.

а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдёт мальчик?

б) Учитель истории знает, что 3 девочки и 5 мальчиков из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске – мальчика или девочку?

в) Влад не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель этого не узнает, если за урок он успевает спросить пятерых?

Решение: а) Общее число исходов равно 30. Благоприятных исходов – 20, значит = . б) Общее число исходов для девочек равно 10, для мальчиков – 20. Благоприятных исходов для девочек – 3, для мальчиков – 5, значит для девочек =, для мальчиков -. Так как >, поэтому лучше вызвать девочку. в) Общее число исходов равно 30. Благоприятных исходов – 25, значит ==.

Ответ: а) 0,067; б) лучше вызвать девочку; в) 0,833.

10. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?

Решение: а) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 13 (на тройку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само число -3), значит =. б) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 12 (на девятку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само число - 9), значит =. в) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов и для Тани и для Вовы – 1, значит =.

Ответ: а) 0,104; б) 0,096; в) Нет, не верно. У обоих шансы равны.

11. У Вики две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берёт две варежки. Какова вероятность, что они окажутся парными (т.е. на разные руки)?

Ответ:

12. Вика потеряла одну из варежек на улице, и теперь их у неё три. Уходя на улицу, она по-прежнему выбирает две варежки случайным образом. Какова вероятность того, что они окажутся парными?

Ответ: .

13. В лотереи участвуют 100 билетов. Разыгрывается один приз. а) Какова вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет?

б) Участвуя в той же лотереи, вы купили 20 билетов. Какова вероятность, что вы опять останетесь ни с чем?

Решение: а) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 1, значит =; б) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 80, значит =.

Ответ: а) 0,99; б) 0,8

Относительные частоты

1. Дано распределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11 классов) по месяцам и дням недели






пн

вт

ср

чт

пт

сб

вс

январь

0

1

3

4

0

0

1

февраль

2

4

1

2

3

0

2

март

2

2

0

2

4

2

0

апрель

3

2

5

8

0

3

2

май

4

0

2

1

1

1

2

июнь

4

2

2

1

3

2

0

июль

0

1

4

2

1

2

0

август

1

2

4

4

2

0

1

сентябрь

0

1

2

1

2

3

5

октябрь

1

2

0

0

2

1

0

ноябрь

0

2

4

1

1

5

1

декабрь

2

2

3

2

0

2

2



Найдите относительные частоты событий:

А = старшеклассник родился в майское воскресенье;

В =старшеклассник родился в зимний четверг;

С = старшеклассник родился в понедельник;

D = старшеклассник родился весной

Решение: Всего в мае родилось 11 учащихся, из них только двое родились в воскресенье, значит, вероятность события А равна =. Всего в зимние месяцы родилось 14+9+14=37 старшеклассников, из них 2+4+2=8 родились в четверг, значит, вероятность события В равна =. В понедельник родились 2+2+3+4+4+1+1+2=19 старшеклассников из 154, значит, вероятность события С равна =. Весной родились 12+23+11=46 старшеклассников из 154, значит, вероятность события D равна =.

Ответ: ;;;.

2. В таблице записаны размеры обуви 20 девочек 9-х классов:

38

38

39

38

41

39

37

38

37

35

38

37

36

37

38

38

39

38

38

38

На основании этих данных составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W) значений случайной величины Х – размеров обуви девочек 9-х классов.

Решение: Величина Х принимает значения Х1=35, Х2=36, Х3=37. Х4=38, Х5=39, Х6=41. Подсчитывая число (М) девятиклассниц каждого размера обуви, заносим данные в частотную таблицу, затем для каждого значения Х находим значение относительной частоты W, зная, что N=20.

Х

35

36

37

38

39

41

М

1

1

4

10

3

1

W

0,05

0,05

0,2

0,5

0,15

0,05



Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

1. На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога?

()

2. В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

(15+25=40,

)

1. В коробке 24 карандаша, из них 3 красного цвета. Из коробки наугад вынимается карандаш. Какова вероятность того, что он красный?

()

2. Из чисел от 1 до 25 наудачу выбрано число. Какова вероятность того, что оно окажется кратным 5?

(чисел всего 25, кратных 5 – 5,

)

1. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша?

()


2. В корзине лежат 5 яблок и 3 груши. Из корзины наугад вынимается один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

(5+3=8, )

1. В вазе 7 цветков, из них 3 розы. Из букета наугад вынимается цветок. Какова вероятность того, что это роза?

()

2. В корзине 10 яблок, из них 4 червивых. Какова вероятность того, что любое взятое наугад яблоко окажется не червивым?

(10-4=6, )



3) «Статистика».

«Слава случаю. Разве не случай

С непреложным всегда наравне…

Случай часто событием правит,

Порождает и радость, и боль.

И задачу пред нами жизнь ставит:

Как постигнуть случайности роль»

(из книги Б.А. Кордемского «Математика изучает случайности»)


Сам мир закономерен – так мы часто считаем и изучаем законы физики, химии и т.д., и всё же ничто не происходит без вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных, побочных причинных связей, изменяющих ход явления или опыта при его повторении. Создаётся «эффект случайности» с присущей закономерностью «скрытой предопределённости», т.е. у случайности появляется необходимость закономерного исхода.

Математики случайные события рассматривают лишь в дилемме « быть или не быть» - наступит или не наступит.

Определение. Раздел прикладной математики, в котором исследуются количественные характеристики массовых случайных событий или явлений, называется математической статистикой.

Определение. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации, обработки и использовании статистических данных для научных и практических выводов.

Общепринятой сейчас является точка зрения на математическую статистику как на науку об общих способах обработки результатов эксперимента. Решая эти проблемы, каким должен обладать эксперимент, чтобы сделанные на его основании суждения были правильными. Математическая статистика отчасти становится наукой о планировании эксперимента.

Значение слова «статистика» за последние два столетия претерпело значительные изменения, - пишут известные современные учёные Ходжес и Леман, - слово «статистика» имеет один корень со словом «государство» (state) и первоначально означало искусство и науку управления: первые преподаватели статистики университетов Германии 18-го века сегодня назывались бы специалистами по общественным наукам. Поскольку решения правительства до некоторой степени основываются на данных о населении, промышленности и т.д. статистики, естественно, стали интересоваться и такими данными, и постепенно слово «статистика» стало означать сбор данных о населении, о государстве, а затем вообще сбор и обработку данных. Нет смысла извлекать данные, если из этого не извлекается какая-то польза, и статистики, естественно, начинают заниматься интерпретацией данных.

Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина 19 начало 20-ых веков) обязано в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, К. Гауссу, А. Кетле, Ф.Гальтону, К Пирсону, и др. В 20 –ом наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е. Слуцким, Н.В. Смирновым, Б.В. Гнеденко, а также английскими Стъюдентом, Р. Фишером, Э. Пурсоном и американскими (Ю. Нейман, А Вальд) учёными.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирования эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ). Её можно определить как науку о принятии решений в условии неопределённости. Кратко, можно сказать, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных.

Объектами изучения в математической статистике могут быть качественные или количественные признаки изучаемого явления или процесса.

В случае качественного признака подсчитывается число появлений этого признака в рассматриваемой серии опытов; это число и представляет собой изучаемую (дискретную) случайную величину. Примерами качественных признаков могут служить дефекты на готовой детали, демографические данные и т.д. Если признак является количественным, то в опыте производится прямое или косвенное измерения путём сравнения с некоторым эталоном - единицей измерения – с помощью различных измерительных приборов. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Основные определения

Значительная часть математической статистики связана с необходимостью описать большую совокупность объектов.

Определение. Всю совокупность объектов, подлежащих изучению, называют генеральной совокупностью.

Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная продукция завода, популяция рыб, живущих в данном водоёме и т.д.

Но генеральная совокупность - это не просто множество. Если интересующая нас совокупность объектов слишком многочисленна, или объекты труднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучить все объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов.

Определение. Та часть объектов, которая попала на проверку, исследование и т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Определение. Число элементов в генеральной совокупности и выборке называется их объёмами.

Как добиться, чтобы выборка наилучшим образом представляло целое, т.е. была бы репрезентативной?

Если целое, т.е. если генеральная совокупность нам мало известна или совсем неизвестна, не удаётся предложить ничего лучшего, чем чисто случайный выбор. Большая осведомлённость позволяет действовать лучше, но всё равно на некоторой стадии наступает незнание и, как результат – случайный выбор.

Но как осуществить чисто случайный выбор? Как правило, отбор идёт по легко наблюдаемым признакам, ради изучения которого ведётся исследование.

Нарушение же принципов случайного выбора приводило к серьезным ошибкам. Стал знаменитым своей неудачей опрос, проведённый американским журналом “Литературное обозрение” относительно исхода президентских выборов в 1936 году. Кандидатами на этих выборах были Ф.Д. Рузвельт и А.М. Ландон.

Кто победил?

В качестве генеральной совокупности редакция использовала телефонные книги. Отобрав случайно 4 миллиона адресов, она разослала открытки с вопросами об отношении к кандидатам в президенты по всей стране. Затратив большую сумму на рассылки и обработку открыток, журнал объявил, что на предстоящих выборах в президенты с большим перевесом победит Ландон. Результат выборов оказался противоположенным этому прогнозу.

Здесь были совершенны сразу две ошибки. Во-первых, телефонные книги не дают репрезентативную выборку из населения США – в основном зажиточные главы семейств. Во-вторых, прислали ответы не все люди, а в значительной части представители делового мира, которые и поддерживали Ландона.

В то же время социологи Дж. Гэллан и Э. Уорнер правильно предсказали победу Ф.Д. Рузвельта, основываясь только на четырёх тысячах анкетах. Причиной этого успеха было не только правильное составление выборки. Они учли, что общество распадается на социальные группы, которые более однородны по отношению к кандидатам в президенты. Поэтому выборка из слоя может быть относительно малочисленной с тем же результатом точности. Победил в итоге Рузвельт, который был сторонником реформ для менее богатых слоёв населения.

Имея результаты обследования по слоям, можно характеризовать общество в целом.

Что представляют собой выборки?

Это ряды чисел.

Более подробно остановимся на основных понятиях, характеризующих ряд выборки.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n> n1, где n1 – столько раз наблюдалось появление x1, n 2 - x2 и т.д.

Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом. Числа наблюдений ni называют частотами и ni/n - относительными частотами (или частостями).

Определение. Различные значения случайной величины называются вариантами.

Определение. Вариационным рядом называется ряд, расположенный в порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им частотами .

При изучении вариационных рядов наряду с понятиями частоты используется понятие накопленной частоты. Накопленные частоты для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот всех предшествующих интервалов.

Определение. Накопление частот называют кумуляцией. Кумулировать можно частоты вариант и интервалов.

Характеристики ряда могут быть количественные и качественные.

Количественные (вариационные) характеристики – это характеристики, которые можно выразить числами. Их подразделяются на дискретные и непрерывные.

Качественные (атрибутивные) характеристики – это характеристики, которые не выражаются числами.

Непрерывные переменные – это переменные, которые выражаются действительными числами.

Дискретные переменные – это переменные, которые выражаются только целыми числами.

Выборки характеризуются центральными тенденциями: средним значением, модой и медианой. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её значений. Мода выборки – те её значения, которые встречаются чаще всего. Медиана выборки – это число, “разделяющее” пополам упорядоченную совокупность всех значений выборки.

Вариационный ряд может быть дискретным или непрерывным.

Задача

Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.

Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.

Среднее значение этого ряда равно 2,4.Медиана ряда 2,25.Мода ряда –1,2.

Дадим определения этим понятиям.

Определение.
1   2   3

Похожие:

Комбинаторика и теория вероятности iconТренинг по теории вероятности
Классификация событий Определение вероятности

Комбинаторика и теория вероятности iconРешение задач логического характера: олимпиадных, «Кенгуру»
Новым содержанием в математическом образовании являются: язык и логика, теория вероятности

Комбинаторика и теория вероятности iconФормула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли
Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий (гипотез)...

Комбинаторика и теория вероятности iconПрограмма курса по выбору «теория вероятности и статистики с информатикой»
Программа разработана учителем математики и информатики гоу сош №909 Литвиновой Е. А., г. Москва, 2007г

Комбинаторика и теория вероятности iconКурсовая работа по дисциплине: «Теория вероятности и математическая статистика»
Данная работа рассматривает выборку зарубежных фильмов, выпущенных в период с 1990 года по 2000 год. Для этих фильмов учитываются...

Комбинаторика и теория вероятности iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
В основу данной программы положены: теоретическая и прикладная механика, теория машин и механизмов, теория колебаний, теория рабочих...

Комбинаторика и теория вероятности iconФилософский факультет
Основные направления работы конференции: философская онтология, теория познания, логика, теория науки, философия права, эстетика,...

Комбинаторика и теория вероятности iconПояснительная записка Дисциплина «Теория «рациональной бюрократии М. Вебера» («Теория рациональной бюрократии и ее современные интерпритации»)
«Теория «рациональной бюрократии М. Вебера» («Теория рациональной бюрократии и ее современные интерпритации») относится к группе...

Комбинаторика и теория вероятности iconПримерный перечень вопросов для студентов по подготовке к экзамену по дисциплине
Социально-когнитивная теория А. Бандуры и теория социального научения Д. Роттера

Комбинаторика и теория вероятности iconТеория и методика допущено Государственным комитетом по физической культуре, спорту и туризму Российской Федерации в качестве
М 50 Оздоровительная гимнастика: теория и методика. Ростов н/Д: Феникс, 2002. 384 с

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©zdocs.ru 2013
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница